فهرست مطالب عنوان: تعریف تابع تاریخچه تابع انواع توابع مفهوم تابع منابع       تابع درریاضیات،تابعرابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی ازمجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایهاساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیمتابع، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو بهدو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.   تعریف تابع در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یکخروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولیدکند. برای مثال با فرض y=x2 با ورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 راخواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی وعنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است. به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانندx درواقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاهدو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنهانیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطهمی‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنیندر حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبریآلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم. فقط کافیست این مطلب را بدانیم کهبرای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوانیک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومیندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هرچیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است کهریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند. تاریخچه تابع نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگلایب نیترمطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیلهنمادهای (y=f(x توسطلئونارد اویلردر قرن 18 اختراع گردید، ولینظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسطجوزف فوریهبیان شد. برای مثال در آن زمانفوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضیسریفوریهدارد. چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافتهبودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدننظریهمجموعه‌هادر قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌هابا کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوانخروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند. ورودی تابع ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی کهورودی تابعاعداد صحیحباشد. آنرا با x اگر زمان باشدآنرا با t ، و اگرعددمختلطباشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانانبرای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومانقبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهنددر بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدارتابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثالزمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z فصل 1- تعریف روی مجموعه‌ها یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو ازمجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دومجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم: این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3،با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر ازمجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است.